Elementos de Física Matemática – Volume 3

LIVRO PUBLICADO

Elementos de Física Matemática – Volume 3

SUMÁRIO

 

Prefácio, V

 

Parte 1EQUAÇÕES INTEGRAIS

 

Cap. 1 – Introdução Histórica, 3

Cap. 2Tipos de Equações Integrais, 9

 

Cap.3Exemplos de Problemas que levam a Equações Integrais, 11

 

3.1- Representação Momento em Mecânica Quântica, 11

3.2- Redução de Equações Diferenciais a Equações Integrais, 12

PROBLEMAS, 26

 

Cap. 4Soluções das Equações de Volterra, 27

 

4.1- Equação de Volterra de Segunda Espécie, 27

4.1.1 – Solução pelo Kernel resolvente ou recíproco, 27

4.1.2 – Solução pelo Método das aproximações sucessivas, 32

4.1.3 – Solução por equações do tipo-convolução, 34

4.2- Equação de Volterra de Primeira Espécie, 38

4.2.1 – Solução por redução a uma equação de Volterra de segunda     espécie, 38

4.2.2 – Solução por equação do tipo-convolução, 41

PROBLEMAS, 44

 

Cap. 5 Soluções da Equação de Fredholm, 45

 

                  5.1. Kernéis arbitrários, 45

5.2- Solução pelo operador integral linear: Série de Newmann (1877)-Born (1926), 54

 

5.3. Kernéis especiais, 54

 

5.3.1 – Kernéis degenerados ou separados, 54

5.3.2 – Kernéis simétricos: Teoria de Hilbert (1904)-Schmidt (1907), 61

5.4. Equação de Fredholm de primeira espécie, 70

 

              PROBLEMAS, 73

 

Cap. 6Aplicações das Equações Integrais à Física, 75

 

Parte II – Integrais de Trajetória não relativistas

 

Cap. 7Introdução Histórica, 81

 

Cap. 8Propagador de Feynman, 83

 

PROBLEMAS, 87

Cap. 9Integrais de Trajetória, 89

 

9.1. Conceituação heurística, 89

 

9.2. Formulação matemática, 90

 

9.2.1. Espaço de fase, 90

9.2.2. Espaço das configurações, 93

 

9.3. Generalizações, problema de ordenamento e formulações mais rigorosas, 95

 

9.3.1. Generalizações, 95

9.3.2. Problema de ordenamento, 96

 

9.4. Formulações mais rigorosas das integrais de trajetória, 98

 

Cap. 10Calculando a Integral de Trajetória, 99

 

                    10.1. Cálculo do fator pré-exponencial f(t), 101

 

10.1.1. Pela densidade de probabilidade, 101

                                10.1.2. Pela integral de trajetória, 104

 

                    PROBLEMAS, 109

 

Cap. 11Cálculo do Propagador de Feynman, 111

 

11.1. Oscilador Harmônico Unidimensional, 111

 

11.1.1. Pela integral de trajetória, 111

 

PROBLEMAS, 127

 

11.1.2. Pela Equação de Schrödinger, 127

 

                      PROBLEMAS, 160

 

                      11.2. Oscilador Harmônico Tridimensional, 161

 

PROBLEMAS, 167

 

Cap. 12Cálculo do Propagador de Feynman para Equações de Schrödinger Não Lineares, 169

 

12.1. Introdução, 169

 

                     12.2. Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski, 169

 

                                12.2.1. Propagador de Feynman, 169

                                12.2.2. Função de onda ψ(t) da Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski (EBB-M), 170

                                12.2.3. Dinâmica da Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski (EBB-M), 171

12.2.4. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski (EBB-M), 173

                                12.2.5. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Bialynicki-Birula-Mycielski (EBB-M), 179

 

                     PROBLEMAS, 181

 

                     12.3. Equação de Bateman-Caldirola-Kanai, 182

 

                                12.3.1. Função de onda ψ(t) da Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 182

                                12.3.2. Dinâmica da Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 182

12.3.3. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 184

                                12.3.4. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 187

 

                     PROBLEMAS, 188

 

                      12.3. Equação de Bateman-Caldirola-Kanai, 182

 

                                12.3.1. Função de onda ψ(t) da Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 182

                                12.3.2. Dinâmica da Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 182

12.3.3. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 184

                                12.3.4. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Bateman-Caldirola-Kanai (EB-C-K), 187

 

                     PROBLEMAS, 188

 

                      12.4. Equação de Diósi-Halliwell-Nassar (ou Equação de Schrödinger-Nassar para Medidas Quânticas Contínuas), 188

 

                                12.4.1. Função de onda ψ(t) da Equação de Diósi-Halliwell-Nassar (ED-H-N), 189

                                12.4.2. Dinâmica da Equação de Diósi-Halliwell-Nassar (ED-H-N), 190

12.4.3. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Diósi-Halliwell-Nassar (ED-H-N), 191

                                12.4.4. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Diósi-Halliwell-Nassar (ED-H-N), 194

 

                     PROBLEMAS, 195

 

                      12.5. Equação de Kostin, 196

 

                                12.5.1. Função de onda ψ(t) da Equação de Kostin (EK), 196

                                12.5.2. Dinâmica da Equação de Kostin (EK), 196

12.5.3. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Kostin (EK), 197

                                12.5.4. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Kostin (EK), 200

 

                     PROBLEMAS, 200

 

                      12.6. Equação de Schuch-Chung-Hartmann, 201

 

                                12.6.1. Função de onda ψ(t) da Equação de Schuch-Chung-Hartmann (ES-C-H), 201

                                12.6.2. Dinâmica da Equação de Schuch-Chung-Hartmann (ES-C-H), 202

12.6.3. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Schuch-Chung-Hartmann (ES-C-H), 203

                                12.6.4. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Schuch-Chung-Hartmann (ES-C-H), 206

 

                     PROBLEMAS, 207

 

                      12.7. Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar, 208

 

                                12.7.1. Função de onda ψ(t) da Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar (ES-H-A-K-N), 208

                                12.7.2. Dinâmica da Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar (ES-H-A-K-N), 209

12.7.3. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar (ES-H-A-K-N), 210

                                12.7.4. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Süssmann-Hasse-Albrecht-Kostin-Nassar (ES-H-A-K-N), 213

 

                     PROBLEMAS, 214

 

 

                     12.8. Equação de Schrödinger-Nassar para o Elétron Estendido, 215

 

12.8.1. Introdução, 215

                                12.8.2. Equação de Schrödinger-Nassar para o Elétron Estendido, 216

                                12.8.3. Função de onda ψ(t) da Equação de Schrödinger-Nassar para o Elétron Estendido (ES-NEE), 216

                                12.8.4. Dinâmica da Equação de Schrödinger-Nassar para o Elétron Estendido (ES-NEE), 217

12.8.5. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Schrödinger-Nassar para o Elétron Estendido (ES-NEE), 218

                                12.8.6. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Schrödinger-Nassar para o Elétron Estendido (ES-NEE), 221

 

                     PROBLEMAS, 222

 

                      12.9. Equação de Gross-Pitaesvskii, 223

 

12.9.1. Função de onda ψ(t) da Equação de Gross-Pitaesvskii (EG-P), 223

                                12.9.2. Dinâmica da Equação de Gross-Pitaesvskii (EG-P), 223

12.9.3. Cálculo da Função de Onda (Pacote Quântico) Classicamente Linearizada da Equação de Gross-Pitaesvskii (EG-P), 224

                                12.9.4. Cálculo do Propagador de Feynman-de Broglie-Bohm da Equação de Gross-Pitaesvskii (EG-P), 228

 

                     PROBLEMAS, 229

 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 231

ÍNDICE ONOMÁSTICO, 237